X-Wing：一个数字只有四个落脚点

一句话版本

X-Wing 是这样出现的：某个数字在两条平行线上都恰好只有两个落脚点，而这两条线指向的是同样两条垂直线。四个格子，一个矩形，一个数字。

它给你的保证很窄，但是绝对的：在穿过矩形的这两条垂直线里，这个数字不可能出现在四个角之外的任何地方。删掉，继续走。

形状

挑一个数字。挑两行。在这两行里，这个数字都必须恰好只有两个落脚点，而且两行用的是同样那两列。它们交汇的四个格子围成一个矩形——四个角。

反过来一样：两条列，每条都恰好只有两个落脚点，且都落在同样两行上。

两种写法是同一个图形从不同方向看，而排除发生在你「进来」的那个方向。这部分最多人做错，所以值得给它们命名：

• 基——这个数字被限制住的那两条线（每条恰好两个落脚点的那两条）。
• 覆盖——横穿四个角的那两条垂直线。
• 排除发生在覆盖线上、矩形之外。永远不在矩形里面。

为什么成立

证明是一个两情况讨论，短到可以装在脑子里。

假设这个数字被限制在第 3 列和第 7 列，落脚点只在第 1 行和第 3 行。现在问：第 3 列的这个数字在哪一行？要么第 1 行，要么第 3 行，没有第三个位置。

• 如果它在第 1 行（第 3 列），那么第 1 行已经有这个数字了。于是第 7 列里它不能在行 1；而第 7 列只允许行 1 和行 3，所以它只能在第 3 行。
• 如果它在第 3 行（第 3 列），镜像成立：第 7 列的它必须在第 1 行。

无论哪种情况，第 1 行和第 3 行最后都恰好各含这个数字一次，而且都落在第 3 列或第 7 列。因此在第 1、3 行里，它不可能在别处。从这两行的其余部分删掉它。

你永远不会知道是哪个角装着它。这没关系——这个排除不依赖你知不知道。

一张真实盘面

这是活盘面上的同一个图形。候选数已经过滤到只剩 4——填好的数字照原样保留，其余都是噪音。

走一遍：

• 在第 4 列，4 只能放 R8C4 或 R9C4。两格，没有别的——而这一列有七个空格。
• 在第 8 列，4 只能放 R8C8 或 R9C8。又是两格。
• 两次都是同样两行。这就是矩形：R8C4、R8C8、R9C4、R9C8。

现在用结论。第 8 行必须有一个 4，而它只能在第 4 列或第 8 列——所以记在 R8C3 和 R8C2 的 4 都不可能。第 9 行还多送一个：它的 4 只能在 R9C4、R9C8 或 R9C3，所以 R9C3 也划掉。

三条排除，两行都关上了：它们的 4 只能落在矩形里。注意，一条线看起来填得多满完全不说明问题——第 8 列快填完了，第 4 列空得很，两者对这个数字都恰好只有两个落脚点。唯一重要的是数出来的个数。

怎么扫出来

X-Wing 是逐个数字找的，而且先扫稀疏的线会容易得多。

1. 一次只看一个数字。 不要在盘面上找形状，要找某个具体的数。
2. 数每条线的落脚点。 对你选中的数字，沿每一列走一遍，数有几格放得下。你要的是恰好两格。一格的是隐单，三个以上在这里没用。
3. 把「两格」的线放在一起比。 如果两条列都只有两个落脚点，而且落在同样两行上，你就有 X-Wing 了。行不同就继续往下扫。
4. 换方向再来一遍。 镜像版本——两条行各两个落脚点、指向同样两列——是同一次搜索把行列互换。多数人习惯扫行，所以基于列的 X-Wing 更容易被漏掉。
5. 清覆盖线。 把这个数字从两条交叉线的其余部分删掉，只留四个角。

一个实用的捷径：数字快填完时，它的落脚点就少，而快填完的数字正是 X-Wing 的住处。从盘面上出现次数最多的那个数字开始。

它证明不了什么

X-Wing 不告诉你哪个角装着这个数字。它也不对两条基线说任何话——在第 3 列和第 7 列内部，候选位置原封不动。所有排除都发生在垂直方向。

这个不对称是最常见的错误。看到矩形之后，人往往会去删两条列，而那是图形不支持的方向，最后一定把盘面弄崩。

还有一个更隐蔽的坑：图形要求每条线上恰好两个落脚点。如果某条列有三格能放这个数字，矩形就不存在，即使其中两格正好是角。三个落脚点意味着它可能逃到第三个位置，两情况讨论立刻塌掉。

X-Wing 和剑鱼

剑鱼是同一个推理用三条线而不是两条：三条列，这个数字在每条上只有两到三个落脚点，且全部落在三行之内。它最多涉及九格，排除发生在三条行上。

如果 X-Wing 已经不费劲，剑鱼就不是新技巧——它是同一道数数题，网撒得更大。扫描顺序一样，「排除方向垂直于基」的规则也一样。

这个家族还能往上走（水母是四条线），但到那个层级，图形已经稀有到别的技巧通常先把题做完了。

什么时候值得用

X-Wing 出现在那种别处都卡死的题里：没有裸单，没有数对，每个格子都是三四个候选。这时候三十秒的数数才划算。

它也是第一个让数独像下棋而不像算术的技巧——这一步的价值不是一个数字，而是对「以后数字能去哪」的一条限制。